Download e-book for iPad: Aritmetica: un approccio computazionale (Convergenze) by Giulio Cesare Barozzi

By Giulio Cesare Barozzi

Il quantity si propone di fornire una prima introduzione alla teoria elementare dei numeri, rivolta agli insegnanti (e ai futuri insegnanti) di matematica. Esso vuole costituire un invito e una preparazione consistent with l. a. lettura di opere pi? impegnative di cui c'? gran copia nella letteratura di lingua inglese e (ultimamente grazie proprio a Springer) una buona presenza anche in lingua italiana. Esso si caratterizza in keeping with avere una "approccio computazionale" cio? in keeping with favorire l'uso di un software program (scegliendolo tra i pi? diffusi oggi in commercio) ai fini della costruzione di un laboratorio di calcolo.

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Suggerimento. Si osservi che le istruzioni contenute al passo 2 mantengono la positivit` a delle variabili X e Y e l’invarianza dell’espressione X · V + Y · U ; poich´e tale espressione vale 2nm, una volta effettuata l’inizializzazione di tutte le variabili in gioco, . . ) 2 Aritmetica modulare Nel capitolo precedente abbiamo visto come eseguire la divisione del numero intero n per il numero intero m > 0; si ha la decomposizione n = qm + r, 0 ≤ r < m, dove gli interi q e r sono univocamente determinati (cfr.

K, si calcola il numero x, con 0 ≤ x < m := j mj , tale che x ≡ rj (mod mj ), 0. 1. 2. 2 3. 4. j = 1, 2, . . , k. k → K, m → M 0→X per J = 1, 2, . . , K, ripetere: X + R(J) · M (J) → X X mod M → X stampare X fine. Se facciamo la convenzione, come gi`a in precedenza, di identificare ciau piccolo numero naturale in essa conscuna classe dell’anello Zm con il pi` tenuto, possiamo riassumere la discussione precedente affermando che l’applicazione f : Zm −→ Zm1 × Zm2 × . . × Zmk definita da f : x → x mod m1 , x mod m2 , .

Pk + 1. Ad esempio, l’insieme {3, 5, 7} genera l’insieme {2, 53} , in quanto 3·5·7 = 106 = 2 · 53. Proviamo ad iterare la procedura: si ottiene la sequenza di {3, 5, 7}, {2, 53}, {107}, {2, 3}, {7}, {2}; a questo punto `e inutile procedere, in quanto si ottiene la successione periodica {2}, {3}, {2}, {3}, . . Un altro esempio: {3, 11, 13}, {2, 5, 43}, {431}, {2, 3}, {7}, {2}; valgono le stesse considerazioni fatte per l’esempio precedente. Nasce la congettura, che, qualunque sia l’insieme di primi di partenza, dopo un numero finito di applicazioni della trasformazione in esame si pervenga al singoletto {2} e dunque ad una successione periodica.

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